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\everymath{\displaystyle}

\title{《抽象代数》（姚慕生第二版）}

\subject{第二章习题}

\begin{document}
\newcommand{\rev}{^{-1}}
\newcommand{\nsg}{\vartriangleleft}

\maketitle

\section{第一节：半群和群}

\begin{problem}
    证明：若群$G$中任一元素的逆元是它自身,则$G$是一个Abel群.
\end{problem}

\begin{solution}
    $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$. 
\end{solution}

\begin{problem}
    设$G$是一个群，且对任意的$a,b\in G$均有$(ab)^2=a^2b^2$，证明$G$是一个Abel群. 
\end{problem}

\begin{solution}
    $(ab)^2=abab=a(ba)b=a^2b^2=aabb=a(ab)b$，由左、右消去律，知$ab=ba$. 
\end{solution}

\begin{problem}
    设$G$是一个群且对某3个连续的自然数$i=n,n+1,n+2$,有$(ab)^i=a^ib^i$对一切$a, b\in G$成立,则$G$是一个Abel群.
\end{problem}

\begin{solution}
    一方面，因为$(ab)^n=a^nb^n$，所以$(ab)^{n+1}=ab(ab)^n=aba^nb^n=a^{n+1}b^{n+1}$，由左右消去律，我们知道
    $ba^n=a^nb$. 

    另一方面，因为$(ab)^{n+1}=a^{n+1}b^{n+1}$和$(ab)^{n+2}=a^{n+2}b^{n+2}$，同理可得$ba^{n+1}=a^{n+1}b$. 

    结合
    $\begin{cases}
    ba^n=a^nb   \\
    ba^{n+1}=a^{n+1}b
    \end{cases}$
    知，$a^nba=a^nab$，右消去律，有$ab=ba$. 
\end{solution}

\begin{problem}
    设$G$是偶数阶群，证明必存在的某个元素$a\ne e$，且$a\rev=a$.
\end{problem}

\begin{solution}
    采用反证法. 我们假设群$G$内任意$a\in G$（$a\ne e$），$a\rev \ne a$. 
    那么，如果$a\in G$，则$a\rev \in G$，由于$a \ne a\rev$，所以任何群$G$中的非单位元元素和他的逆元是成对出现的，换言之
    $\complement_G\{e\}$ 的阶数是偶数，进而$G$的阶数为奇数，与题设矛盾. 
\end{solution}

\begin{problem}
    设$G$是一个半群且适合下列两个条件，
    \begin{enumerate}
        \item 存在$e \in G$，使对一切$a\in G$，有$ae=a$；
        \item 对$G$中任一元$a$，必存在元素$a'$，使$aa'= e$.
    \end{enumerate}
    证明$G$必是一个群.
\end{problem}

\begin{solution}
    我们先证明 $a'a=e$. 我们设$a'' \in G$ 满足 $a'a''=e$. 则有$a'a=a'ae=a'aa'a''=a'(aa')a''=a'ea''=a'a''=e$。

    接下来证明$ea=a$. $ea=aa'a=a(a'a)=ae=a$.

    综合以上内容，$G$ 是一个群. 
\end{solution}

\begin{problem}
    设 $G$ 是一个\textbf{有限}半群，且适合条件：
    \begin{enumerate}
        \item 存在$e \in G$，使对一切$a\in G$，有$ae=a$；
        \item 对 $G$ 中任一元 $a$ ，若 $ab=ac$ ，则 $b=c$（即左消去律成立），
    \end{enumerate}
    证明 $G$ 是一个群. 
\end{problem}

\begin{solution}
    很容易能证明，$ea=a$，因为$aea=a^2$，由左消去律，知$ea=a$。

    接下来证明存在逆元$a\rev a=aa\rev =e$。由于$G$ 是有限群，所以总存在 $m>n$，使$a^m=a^n$，由左消去律，有$a^{m-n}=e$，进而有$aa^{m-n-1}=e$，
    这说明 $a$ 的右逆元存在，由上题可知这个右逆元也同样是左逆元。
\end{solution}

\section{第二节：子群和陪集}

\begin{problem}
    设$H_1, H_2, \cdots$是群$G$的一族子群，且$H_1\subset H_2 \subset H_3 \subset \cdots$，证明$\bigcup^\infty_{i=1}H_i$ 是群 $G$的子群。

    若 $H, K$ 是群 $G$ 的子群且两者互不包含，求证 $H \cup K$ 必定不是 $G$ 的子群。
\end{problem}
    
\begin{solution}
    对于第一问。令$\hat{H} = \bigcup_{i=1}^\infty H_i\subset G$ ，显然 $\hat{H}$ 满足结合律。对任意的$i \in \mathbb{N}^+$ ， $e \in H_i \subset \hat{H}$ ；
    对于任意的 $a \in \hat{H}$ ，总存在 $i \in \mathbb{N}^+$ 使得 $a \in H_i$，因为$H_i$ 是群 $G$ 的子群，进而$a\rev \in H_i \subset \hat{H}$ ；进而$\hat{H}$ 是一个群。
    综上，$\hat{H}$ 是群$G$ 的子群。

    对于第二问。我们选取$a\in H, b\in K$ 但是 $a \notin K, b\notin H$. 注意到 $ab \notin H\cup K$，因为一方面，$a\rev \in H$，如果$ab \in H$的话根据封闭性，
    $a\rev ab = b \in H$也应该成立，但是这不符合假设；关于 $K$ 的方面同理。
\end{solution}

\begin{problem}
    $G$ 是一个10阶循环群，也即$G=\{e,a,a^2,\cdots,a^9\}, a^{10}=e$。求由$a^2$生成的子群的右傍集全体。
\end{problem}

\begin{solution}
    令$H = <a^2>=\{e,a^2,a^4,a^6,a^8\}$，全部右傍集为 $He=\{e,a^2,a^4,a^6,a^8\}$，$ Ha = \{a,a^3,a^5,a^7,a^9\}$.
\end{solution}

\begin{problem}
    设 $H,K$ 是群$G$ 的子群，且$K$是$H$的子群，若$\left[G:H\right]$和$\left[H:K\right]$均有限，求证$[G:K]$也有限，且
    $[G:K]=[G:H][H:K]$。
\end{problem}

\begin{solution}
    不妨令$M=[G:H], N=[H:K]$，$Ha_1, Ha_2, \cdots, Ha_M$ 为$H$关于$G$的右傍集分划，$Kb_1, Kb_2, \cdots, Kb_N$ 为$K$关于$H$的右傍集分划。
    自然$Ka_ib_j(i = 1,2,\cdots,M; j = 1,2,\cdots,N)$是$K$关于$M$的分划，因为$a_i \ne b_j$，所以$K$关于$G$的分划，也即$[G:K]=MN=[G:H][H:K]$。
\end{solution}

\begin{problem}
    设 $H < G, K < G$，定义$HK=\{hk\ |\ h \in H,k \in K\}$。求证$HK < G \Leftrightarrow HK=KH$.
\end{problem}

\begin{solution}
    我们先自左向右证明。
    一方面，对于任意的 $a \in HK$，$a\rev \in HK$，不妨设$a\rev = hk$，则$a = (a\rev)\rev =k\rev h\rev \in KH$，所以$HK \subseteq KH$；
    另一方面，对于任意的$h \in H, k \in K$，$kh \in KH$，$(kh)\rev = h\rev k\rev \in HK$，因此$kh \in HK$，进而$KH \subseteq HK$。
    综合两方面，$HK=KH$。

    接下来自右向左证明。
    对于任意的$h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$，$h_1k_1, h_2k_2 \in HK$。
    $h_1k_1(h_2k_2)\rev =h_1k_1k_2\rev h_2\rev$，鉴于$k_1k_2\rev \in K$，进而有$k_1k_2\rev h_2\rev \in KH = HK$，
    所以$h_1k_1(h_2k_2)\rev =h_1k_1k_2\rev h_2\rev \in h_1 HK = HK$，这说明了$HK < G$。
\end{solution}

\begin{problem}
    设$H,K < G$，且$H,K$都是有限群，求证：$|HK| = \dfrac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}$.
\end{problem}

\begin{solution}
    （我不明白）
\end{solution}

\begin{problem}
    设$H, K$ 是群 $G$ 的子群。且$[G:H],\ [G:K]$都有限。求证$[G:H\cap K]$ 也有限。
\end{problem}

\end{document}